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COURS PRELIMINAIRES DE PHYSIQUES POUR NOUVEAUX BACHELIERS (Gradient, divergence, rotationnel,…)                                     

PAR

       
 

KOM BERNARD

Mathématicien

À

DOUALA

 
 

TCHEBONSOU METHODE

Physicien

À DOUALA

 
 
 

 

 

 

 


MAI 2008

 

<< M. Granville T. Woods, qui est le plus grand électricien au monde, continue d’ajouter à sa longue liste d’inventions électriques. >> Oho catholic tribune du 1er Avril 1887, cité par Great Negroes of the past

INTRODUCTION

L’accès à l’université est une étape importante pour le nouveau bachelier et mérite d’être bien négocié. De ce fait, ce dernier doit surmonter quelques écueils de divers ordres, susceptibles de faire entrave à sa progression dans ce nouvel environnement.

Sur le plan intellectuel, par exemple, le nouveau bachelier doit affronter une dénivellation assez importante entre le taux des connaissances acquises au secondaire et celui des connaissances à acquérir au supérieur. C’est le cas dans presque toutes les matières, et c’est cela qui peut insuffler l’idée d’apprêter un cours préliminaire comme celui-ci, dans le but d’adoucir la transition de notre postulant néophyte.

Pour ce qui est de la physique, entre autres, le nouveau bachelier est parfois brusquement accueilli avec les notions telles que l’opération NABLA, le GRADIENT, la DIVERGENCE, etc. Cet état de fait qui engendre souvent des frustrations chez certains, conduit même parfois d’autres à l’abandon, dès le début de l’année universitaire.

Puisse le présent cours être une facilité par rapport à l’intégration intellectuelle de nouveaux étudiants en physique


CHAMP DE VECTEURS

CHAMP DE SCALAIRES

EXERCICES

Soit la fonction

                                                                                                                            

I- LE VECTEUR GRADIENT

1-                 On définit l’opérateur noté  tel que  désigne la dérivée (partielle) de  par rapport à la variable  étant alors supposées constantes.

Donner l’expression de

2-                 De façon analogue, définir  et, puis donner leurs expressions en fonction de .

3-                 On appelle NABLA, et on note, l’opérateur

on définit le vecteur  appelé vecteur GRADIENT  de  au point M, noté. Ainsi

Ecrire les coordonnées de  dans une base orthonormé, en fonction de .

 Soit ,

Déterminer et.

II-LE ROTATIONNEL D’UN VECTEUR  

Soit  un vecteur de , de coordonnées variables  dans la base orthonormée  telles que, ,  et

On définit

- Le scalaire réel , appelé la divergence du vecteur

- Le vecteur 

                                             

Appelé le rotationnel du vecteur .

1-                 Calculer

2-                 Exprimer les coordonnées du vecteur  dans la base

III-LE LAPLACIEN

Soit  une fonction scalaire

                  

On pose, i.e., la dérivée seconde de f par rapport à x.

1-                 Définir également   et 

2-                 Soit l’opérateur, dit le laplacien, tel que   - Calculer

3-                 Calculer   et, où   et

IV- AUTRES NOTIONS

Soit  un vecteur et   une fonction scalaire

1-                Calculer les scalaires  et  , où  -Conclure

Note :

2-                Montrer que

3-                Montrer que

 

Solution des exercices

I.                 GRADIENT D’UN VECTEUR

 

1-                  ,   et 

2-                Coordonnées de  dans la base .

 soit

3-                  et 

II- ROTATION D’UN VECTEUR   

 ;    et 

1-                 Calcul de

           

2-                 Coordonnées de

,   

III-LE LAPLACIEN

1-                 ,    et 

2-                 Calcul de .

,  et              

                

 

           

IV- AUTRES NOTIONS

1-                Calcul de

D’où  

2-               Montrons que

              

              

Or  ,    et  

D’où

3-               Montrons que   

Or  ,     et 

D’où  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUTRES SYSTEMES DE COORDONNEES

- Coordonnées cartésiennes

C’est le système de coordonnées classique dans lequel un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées.

- Coordonnées cylindriques

Un point  de l’espace peut également être repéré par les réels   de façon unique.

Les formules de passage d’un système à l’autre sont alors, selon la figure,

Remarque : Ramené à la dimension 2, un point M a pour coordonnées. On parle de coordonnées polaires

- Coordonnées sphériques

Le point M de l’espace est repéré par les coordonnées.

Sur la figure, on peut établir les formules suivantes :

,  ,  ,  ,   et 

Il s’en déduit que

 

 

 

CONCLUSION

Ce travail enfin, ne constitue en rien une œuvre achevée. Il est tout simplement un outil, un ingrédient entre autres, susceptible de favoriser une insertion réussie du futur étudiant en faculté des sciences. Il est sensé assurer une progression dérivable des connaissances entre le secondaire et le supérieur scientifiques, c’est-à-dire modérer la transition des connaissances entre les deux niveaux de savoir.

 

Ampliations

- Futurs bacheliers

- Enseignants

- Chercheurs

- Autres…

 

 



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